Analyse dimensionnelle

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Cours particuliers Cluses/Annecy
SEBASTIEN BRUNEAU

Physique, Chimie, Mathématiques
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Présentation

L'analyse dimensionnelle permet de vérifier l'homogénéité d'une formule, et à fortiori, de déterminer la dimension ou l'unité d'une grandeur.

Deux problèmes principaux sont liés à l'utilisation de l'analyse dimensionnels.

Le premier est le flou qui règne parmi les enseignants sur les conventions d'écritures à adopter. Si beaucoup de syntaxes sont admises, une (celle décrite ci-dessous) peut être qualifiée d'"officielle", bien que toutes mènent au résultat.

La seconde est le manque flagrant de distinction entre les notions de grandeurs, de dimensions, et d'unités de la part des élèves.

Les dimensions SI

Il existe 7 dimensions de base dans le système international, donc les 4 premières sont courantes. Les dimensions de toutes les grandeurs peuvent s'exprimer en fonction de ces 7 dimensions SI.

Symbole Dimension Unité SI Exemples de grandeurs
L Longueur m (mètre) Distance Terre-Soleil, hauteur d'une barrière, taille d'un atome, circonférence d'un cercle...
M Masse kg (kilogramme) Masse de la Terre, masse d'un atome, masse ("poids") d'un être humain...
T Temps s (seconde) Période de révolution de la Terre, temps d'un trajet en voiture, durée d'une émission télé...
I Intensité électrique A (ampère) Intensité du courant électrique dans un fil
N Quantité de matière mol (mole) Nombre de molécules dans une bouteille, dans un flacon...
Θ Température absolue K (kelvin) Température extérieur, température d'une pièce
J Intensité lumineuse cd (candela) Intensité lumineuse d'une ampoule

Analyse dimensionnelle

La rédaction optimale d'une analyse dimensionnelle consiste à utiliser des crochets ("[" et "]"), qui signifient littéralement "la dimension de". "[U]" se lira "la dimension de U". Les crochets seront omis pour les dimensions du système international (tableau ci-dessus).

L'espace entre les crochets servira aussi bien pour écrire des formules concrètes, que pour donner des dimensions dans le cadre général.

Les unités doivent être bannies d'un calcul d'analyse dimensionnelle, et n'interviendront qu'ensuite, dans une phrase par exemple.

Le principe de l'analyse dimensionnelle est d'utiliser n'importe quelle formule utile pour démontrer une dimension ou unité, même si la formule en question n'a rien à voir avec le chapitre étudié.

Exemple 1

On sait que <math>i = \frac{dq}{dt}</math>. On peut donc écrire que la dimension de l'intensité est homogène à la dimension d'une charge sur la dimension d'un temps.

<math>[i] = \left[ \frac{dq}{dt} \right] = \frac{[charge]}{[temps]}</math>, soit, selon les dimensions du SI : <math>I = \frac{[charge]}{T}</math>, ce qui peut se lire "une intensité est homogène à la dimension d'une charge sur un temps".

Enfin, on a donc <math>[q]=[charge]=I.T</math>.

On peut donc dire qu'une charge peut s'exprimer en ampères-secondes (même si son unité officielle est le coulomb).

Exemple 2

On sait qu'une force s'exprime en newton (N), mais on peut aussi l'exprimer en fonction d'unités SI de base, par exemple à l'aide de la seconde loi de Newton :

<math>[F]=[\Sigma F] = [m][a] = M.\left[ \frac{dv}{dt} \right] = M.\frac{[v]}{T}=M.\frac{L}{T^2}=M.L.T^{-2}</math>

Une force est donc homogène à une masse multipliée par une longueur, divisée par un temps au carré. Elle peut donc s'exprimer en kg.m.s-2.



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